2.1 计算机中数制及转换

        在日常生活中，人们通常使用十进制数，但在计算机内部采用二进制表示数据，为书写及使用方便，还引入了八进制数和十六进制数。

2.1.1 不同的进制

        进位计数制是目前广泛使用的一种计数方法，我们日常生活中最常用的是十进制，计算机世界里各种类型的信息均采用二进制编码进行表示和存储，如图像、音频、视频等。除此之外，为了表示方便，有时也会使用八进制、十六进制等表示数据。关于进位计数制，我们首先应该了解基本符号、基数以及位权的概念。基本符号是指用来表示某种数制的基本符号，如二进制的基本符号为0和1；基数表示某数制可以使用的基本符号的个数，如二进制的基数为2，因为二进制只能用0和1两个基本符号表示；位权表示一个数值中每位数字符号的权值大小，如十进制234可以写成2×10²+3×10¹+4×10⁰，那么2的位权为10²，3的位权为10¹，4的位权就为10⁰。不同的进制有不同的运算规则和表示方法，此处介绍几种常用的进制。

1.二进制

        在具有冯.诺依曼结构的计算机中，都采用二进制代码表示字母、数字以及各种各样的符号、汉字等。二进制的基数为2，基本符号是0和1，运算规则为“逢二进一，借一当二”，即当某一位计数达到2时就向高位进1，反过来向高位借1，那么在低位就相当于2。二进制中第i位的位权为2^i-1。

2.八进制

        在一些计算机编程语言中，常常以数字“0”作为开头来表明该数字是八进制，如果是负数，则以负号开头，例如，-087。八进制的基数为8，基本符号是0-7，运算规则为“逢八进一，借一当八”，八进制中第i位的位权为8^i-1。

3.十进制

        十进制形式是我们最熟悉的表达形式，十进制的基数为10，基本符号是0-9，运算规则为“逢十进一，借一当十”，十进制中第i位的位权为10^i-1。

4.十六进制

        十六进制的表示方式有很多，其中最常用的表示方式是将“0x”加在数字前，或在数字后加上小字 16。例如 0x3E6 和 3E6₁₆。十六进制的基数为16，基本符号是0-9、A-F，运算规则为“逢十六进一，借一当十六”，十六进制中第i位的位权为16^i-1。

        可以将上述内容归纳为表2-1，方便读者查阅，其中位权的表示方法仅适用于整数部分。

2.2.2不同进位计数制间的转换

        不同进位制数之间可以相互转换，但转换方法有所不同，初学进位制转换可以参考以下二进制、八进制、十进制与十六进制之间的对应关系，如表2-2所示。

1.二进制数与十进制数的相互转换

（1）二进制数转换为十进制数

        二进制数转换为十进制数相对比较简单，只要将二进制数的各位数字与其相对应的位权相乘，然后累加所有乘积，那么得到的结果就是该数的十进制形式。确定各位数字的位权时，应把小数点作为分界点，小数点往左应从2⁰开始，依次为2¹，2²，2³……,小数点往右应从2^-1开始，依次为2^-2,2^-3,2^-4……。

        例如将二进制数1101.01转换为十进制数：

        1101.01=1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰+0×2^-1+1×2^-2=8+4+0+1+0.5+0.25=13.75

        结果为（1101.01）₂=（13.75）₁₀

（2）十进制数转换为二进制数

        十进制数转换成二进制数，由于整数和小数的转换方法不同，一般会将整数部分和小数部分分别进行转换，然后拼接在一起。

        ①整数部分，整数部分的转换可采用“除2取余法”，基本思想是将需要转换的十进制数除以2，得到商和余数，商作为被除数除以2，再次得到商和余数，重复此步骤，直到商为0。将所得余数按照逆序排列就得到了该数的二进制形式。

        例如将十进制数37转换为二进制数：

        得到的余数按逆序排列为100101，因此（37）₁₀=（100101）₂

        ②小数部分，小数部分可采用“乘2取整法”，基本思想是将小数部分乘以2，并取出所得乘积的整数部分，将剩余的小数部分再次乘以2，并取出整数部分，重复此步骤，直到小数部分为0或者达到要求的精确度为止，最后将所取整数按顺序排列就是该数小数部分的二进制形式。

        例如将十进制数19.75转换为二进制数：

        结果为（19.75）₁₀=（10011.11）₂

2.二进制数与八进制数的相互转换

（1）二进制数转换为八进制数

        由于八进制数的基数8是2的三次方，因此，二进制数转换为八进制数时，可以从小数点开始向左或向右，每3位二进制数为一组，若小数部分最后一组不足3位则在末尾补0。将每组二进制数转为其对应的八进制数，然后拼接在一起即可。

        例如将二进制数10101.11转换为八进制数：

        二进制数 10 101 . 110

        八进制数 2 5 . 6

        即（10101.11）₂=（25.6）₈

（2）八进制数转换为二进制数

        八进制数转换为二进制数，从小数点开始向左或向右,将每1位八进制数用3位二进制数表示出来，然后拼接在一起，就将该数转换成了它的二进制形式。

        例如将八进制数74.6转换为二进制数：

        八进制数 7 4 . 6

        二进制数 111 100 . 110

        即（74.6）₈=（111100.110）₂

3．二进制数与十六进制数之间的转换

（1）二进制数转换为十六进制数

        由于十六进制数16为2的四次方，因此，二进制数转换为十六进制数时，可以参照二进制向八进制转换的方法，从小数点开始向左或向右，每4位二进制数为一组，若小数部分最后一组不足4位则在末尾补0，将每组二进制数转为其对应的十六进制数，然后拼接在一起即可。

        例如将二进制数11011010.101转换为十六进制数：

        二进制数 1101 1010 . 1010

        十六进制数 D A . A

        结果为（11011010.101）₂=（DA.A）₁₆

（2）十六进制数转换为二进制数

        十六进制转换为二进制数，可以参照八进制向二进制转换的方法，从小数点开始向左或向右,将每1位十六进制数用4位二进制数表示出来，然后拼接在一起，就将该数转换成了它的二进制形式。

        例如将十六进制数6F.B4转换为二进制数：

        十六进制数 8 D . A 3

        二进制数 1000 1101 . 1010 0011

        结果为（8D.A3）₁₆=10001101.10100011)₂

4.十进制数与十六进制数的相互转换

（1）十进制数转换为十六进制数

        十进制数转换为十六进制数，可以参考十进制数转换为二进制数的方法，整数部分可采用“除16倒取余法”，小数部分可采用“乘16取整法”。还有一些相对比较简便的方法，比如，先将十进制数转换为二进制数，然后再将二进制数转换为十六进制数。

（2）十六进制数转换为十进制数

        参考二进制数转换为十进制数，将其按权展开求和即可。

        例如将十六进制数12C.A转换为十进制数：

        （12C.A）₁₆=1×16²+2×16¹+12×16⁰+10×16^-1=（300.625）₁₀

        结果为（12C.A）₂=（300.625）₁₀